提出的解决方案 (27) 许多列为“开放”的问题已经在网上有了非正式或部分答案；我们非常努力地避免处理这些问题。 1) Erdős问题 #123 Erdős问题 www.erdosproblems.com/123 › 问题 设a,b,c≥1a,b,c≥1是三个互素的整数。每个大整数是否都是形如akblcma^kb^lc^m (k,l,m≥0k,l,m≥0)的不同整数之和，且没有一个整数能整除另一个整数？（Erdős问题#123 — 奖金：$250 — 数论 — https://www.erdosproblems.com/123） › 结果 对于每一组互素的整数三元组a,b,c>1，所有足够大的整数都是不同项a^i b^j c^k的和，且没有所选的项能整除另一项。在Lean中，这是定理Erdos123.erdos_123 : Erdos123.IntendedStatement。 定义 IntendedStatement : Prop := ∀ a b c : ℕ, 1 < a → 1 < b → 1 < c → PairwiseCoprime3 a b c → IsDComplete (Smooth3 a b c) /-- Erdős问题123对于意图的非退化假设`a,b,c>1`。 -/ 定理 erdos_123 : IntendedStatement := intended_erdos_123 › 报告解决Erdős问题123 问题及其抗拒传统归纳的原因 对于互素的整数a,b,c>1a,b,c>1，考虑数字aibjck(i,j,k≥0)。 a^ib^jc^k qquad (i,j,k≥0)。 问题询问每个足够大的整数是否都是这种不同数字的和，并且有额外条件：没有一个被选择的加数能整除另一个。可整除性条件是真正的难点。普通的完备性论证可以使用来自不同尺度的许多项，但来自不同尺度的项倾向于因可整除性而可比较。相反，选择一个可整除的反链的集合可能在算术上过于稀疏，以填满连续整数。早期的工作发展出了一种强大的简化方案：选择一个所需余数的修正，模一个基数减去它，然后除以那个基数，进行归纳。但是，通常情况下，这会留下一个顽固的有限种子问题：必须首先在一个乘法宽的区间[N,CN][N,CN]中表示每个整数。修正归纳并没有构造那个区间；它只传播它。这解释了为什么几个吸引人的部分想法未能完成该问题：一个差为一的符号恒等式给出两个连续和，但每个类的一个余数代表必然至少有模减一的扩展。宽度为一的区间在普通余数粘合下无法增长。初级水平上的完整余数系统解决了同余问题，但对其数值扩展无能为力。Van der Waerden和Hales–Jewett的论证产生任意长的原始和的算术级数，但最初的公差无法控制。即使在修正公差后，级数B0+rdB_0+r d仍然带有一个大正基线B0B_0。复制这些级数按相同的速率增加宽度和基线，因此不必生成归纳所需的乘法宽种子。重要的教训是，大的加性宽度是不够的。下限必须保持在数量控制之下。 同质坐标系 第一个结构性简化是研究一个同质指数级别i+j+k=D。i+j+k=D。对于大于一的互素基，单项式的可整除性是其指数的坐标比较。因此，同一水平上的两个不同单项式不能相互整除。同质级别的每个子集自然而然是原始的。这将问题转化为一个关于子集和的加法问题，同时在构造的所有部分可以放置在同一确切度数的情况下，使原始性几乎变得自由。一种边缘代码构造提供了在同一水平上具有不同模余数的c^n原始子集和以及一个有限的进位。通过该进位进行着色并应用有限的Van der Waerden，其本身来自Mathlib的Hales–Jewett定理，给出原始同质子集和的任意长确切算术级数。 将一个AP转变为一个大格子区间 将基数按1<a<c<b的顺序排序。1<a<c<b。选择H=edgeDigitDepth⁡(c)，u=H+2, H= ext{edgeDigitDepth}(c)， qquad u=H+2, 然后选择v>0v>0使得2bav≤cv。2b a^v extless c^v。定义两个互素的同质平移权重A=au+v,B=bucv。 A=a^{u+v}, qquad B=b^u c^v。其中一个AP数字族的拷贝通过权重AM−rBr平移。A^{M-r}B^r。选择u>H+1u>H+1使不同的拷贝位于bb -指数的非重叠带中。将每个项乘以abcabc使每个AP项严格内部。所有拷贝都会落在一个确切的指数度上。一个有界同质基数引理证明系数和 ∑r=0MsrAM−rBr,0≤sr<4AB, extstyle extstyle extstyle{ extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle{ extstyle{ extstyle{ extstyle{ extstyle{ extstyle{ extstyle{ extstyle{ extstyle{ extstyle{ extstyle{ extstyle s_r A^{M-r}B^r, extstyle 0 extstyle extstyle{ extstyle extstyle{ extstyle where each coefficient realized through the corresponding AP digit set gives a full interval of width at least 2ABM+12AB^{M+1} .