臭名昭著的雅可比猜想可以在复数上具体表述如下。猜想 1（雅可比猜想）设有一个复变量的多项式映射，其雅可比行列式为非零常数。那么，该映射是可逆的（具有多项式逆）。雅可比行列式非零这一条件等价于局部可逆性。（局部可逆性的推导来自雅可比行列式不为零的逆函数定理；证向推导可以从魏尔斯特拉斯预备定理得出，但此处省略。）此外，依据代数基本定理，若雅可比多项式非零，它一定是常数。因此，假设“雅可比是非零常数”可以替换为“局部可逆”。所以雅可比猜想可以被视为局部可逆性蕴含全局可逆性的断言。复数可以很容易通过勒夫谢兹原理替换为其他特征为零的域，但我更喜欢在复数的具体环境中进行工作。最近，利用 Fable AI，证明在三维空间中这个猜想是错误的（因此在更高维度中也是如此）：定理 2（猜想的反例）存在一个多项式，其雅可比行列式为非零常数，但不可逆。该猜想在二维情况下仍然开放，而在一维情况中很容易证明。这个例子可以明确表述：可以取，并且可以通过简短的计算验证和。虽然这是一个极其快速的验证，但以这种方式呈现的构造看起来像是一种巨大的奇迹。该多项式的度为七，所以从先验来看，雅可比行列式应该是一个三变量多项式，度数大到，因此这个多项式的所有非零项系数都消失这一事实显示出涉及系数的巨量消减，这比一般三变量七度多项式的自由度要大得多。因此，找到这样的多项式似乎通过暴力方法是不太可能的。此后，这个例子在更几何的术语中得到了追溯解释。作为对自己的“消化”训练，我试图在不多用代数几何的情况下用尽量少的“奇迹”的方式来写这个解释，尽管仍然有一些地方发生了一些显著的现象。使用局部单射的表述很方便，并且将领域推广到一个等价的仿射流形。也就是说，我们将展示定理 3（反例，重新表述）存在一个通过多项式变量变化同构于的仿射流形，以及一个局部单射但不是全局单射的多项式映射。显然，可以通过构建同构并利用先前提到的局部单射蕴含非零常数雅可比行列式的事实，从定理 3 推导出定理 2。我们的目标现在是找到满足三个独立性质的数据。将问题拆分为这三个部分的好处在于，我们可以分别构建它们。结果是和可以通过低度多项式的乘法运算构建。即，考虑以下三个简单的仿射空间：（此处的符号指的是一个向量空间的对称幂。）显然这些空间分别同构于。此外，我们有一个乘法映射，将一对线性多项式和二次多项式映射到一个三次多项式（现在，该映射的定义域和范围的维度大于目标维度三；随着论证的进行，我们将将维度降低到三）。该映射，本质上是从映射至的映射，显然是多项式的；在坐标系中显示为。在对称性方面，该映射还享有两种基本的（并且是可交换的）对称性。因此，该映射享有大量的等变性，基本上是相对于五维群的作用。五维的定义域当然大于四维的范围，因此该映射显然不可能是单射。这一点已经可以从缩放对称性中看出，因为特定的缩放会修改线性和二次多项式，但不会修改它们的乘积。然而，即使将其通过这个对称性（3）归约至四维，该映射仍然不可满射，原因如下。一般选择的三次多项式将分解为三个独立的线性多项式的乘积。然后有三个对，它们在乘法映射下映射到同一个三次多项式，但并不通过缩放对称性（3）相互关联。因此，即使在通过缩放对称性（3）归约后，乘法映射在一般情况下也是一种三对一的非单射。因此，我们已经达成了类似目标（b）的成果！将“花费”