我在这里看到的一些事物之间的联系，可能在其他地方没有被提到。也许它们有意义？ 1. 无基数对数 通常我们写一个具有基数的对数， \(\log_b (x)\) 意为 \[y = \log_b (x) \Lra b^y = x\] 然后你可以通过以下方式改变对数的基数： \[\log_b (x) = \frac{\log_a (x)}{\log_a(b)}\] 这一公式的推导来自于重排 \(\log_a (x) = \log_a (b^{\log_b x}) = \log_b (x) \times \log_a (b)\)。 思考这个公式的一个方式是，它是一种单位的转换。类似于写 \(2 \text{ 公里} = 2000 \text{ 米} / \frac{1000 \text{ 米}}{1 \text{ 公里}}\) 或者 \(5 \text{ 字节} = 40 \text{ 比特}/\frac{8 \text{ 比特}}{1\text{ 字节}}\)。 它在说：在 \(x\) 中有多少个 \(b\) 的副本？这是 \(x\) 中的 \(a\) 的副本数量，除以在 \(b\) 中的 \(a\) 的副本数量。 这一点相当简单，但不知为何用这种方式思考对数却很难。符号在某种程度上……模糊了事物？特别是，读取 \(\log_b x\) 为“在 \(x\) 中有多少个 \(b\) 的副本”是很困难的，因为这个英文表达应该对应于符号 \(x/b\)，而不是 \(\log_b x\)。 我找到了一种思考对数的方式，我认为这会让事情更清楚，但你必须允许一个我称之为无基数对数的奇特对象。 它仅仅是一个没有基数的对数：\[\log N\] 我们将其视为一个抽象对象，而不是一个数字。 然后我们将我们的正常“基于”对数写为两个无基数对数的比率： \[\log_2 N = \frac{\log N}{\log 2}\] 注意，这已经是人们习惯性做的事情，例如在渐进行为公式中省略对数的基数。但我并不是将其作为简写。将其视为一个实际的代数对象是有用的。 我们解释 \(\log 2\) 为单位“比特”。 用比特表示 \(\log N\) 是将其因子化为 \(\log 2\) 的倍数： \[\log N = \frac{\log N}{\log 2} \log 2 = \log_2 (N) \log 2 = \log_2 (N) \text{ 比特}\] 然后对数的基数变换来自于仅用不同单位写相同的几何量。 例如作为单位的 \(\log e\) 有时被称为“纳特”： \[\begin{aligned} \log N = \frac{\log N}{\log 2} \log 2 = \log_2 (N) \text{ 比特} = \frac{\log N}{\log e} \log e = \ln (N) \text{ 纳特} \end{aligned}\] 无基数的 \(\log N\) 在某种程度上是一个对象的乘法版本，这个对象在讨论向量时可能是熟悉的。 与向量相关，通常会区分点和位移：位移向量 \(\b{v}\) 是由两个点的差 \(\v = (b) - (a)\) 所构成。当我们将点视为具有坐标时，这涉及到一个显式的原点选择 \(\O\)，使得 \(\b{a} \equiv (a) - \O\) 和 \(\b{b} \equiv (b) - \O\)。然后通过减去 \(\O\) 的因子构造一个位移向量，\(\b{v} = \b{b} - \b{a} = ((b) - \O) - ((a) - \O) = (b) - (a)\)。 无基数对数实现了相同的东西，但通过乘法：值 \(\log N\) 可以被视为 \(\log N / \log \O\)，用于未指定的原点选择；将其转化为实际的数值涉及到将两个这样的对数相除以消去原点，\(\log_M N = \log N / \log M = (\log N / \log \O) / (\log M / \log O)\)。 我将 \(\log N\) 视为对应于 \(N\) 的点，\(\log N / \log \O\) 视为一旦你选择一个坐标系统就其对应的位移向量。我倾向于认为点是更基本的。 你可能会问：如果我们有一个无基数对数 \(\log N\)，我们是否也有一个“无基数指数”？通常 \(b^{\log_b N}\) 可以写成类似 \(b^{\log_b N} = b^{\ln N / \ln b} = e^{\ln N} = N\) 的形式；是否有办法在不选择基数的情况下做到这一点？我认为答案必须是否定的。 我们所能说的只是，我们已经将一个对象，\(\log_b N\)，这就是 \(b^y = N\) 的解，拆分为两个对象，\(\log N\) 和 \(\log b\)，每个在单独的情况下都没有“单位”，因此没有数值意义。这就像空间中的点：一个点本身没有加法操作，也没有长度。我们可以减去点以生成向量（相对于对称群），但不能加它们，并且坐标中的通常操作都需要选择一个原点。事实上，对数和向量之间有许多令人惊讶的相似之处。 2. 对数是向量 在适当地协变的方式中进行向量代数和微分几何时，我们区分抽象向量和特定坐标系统中的向量。我的个人约定是将抽象向量称为“几何”向量，并始终用粗体字写作 \(\v\)，而“坐标”向量，坐标中的值的元组，用箭头表示，如 \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\)。粗体的几何向量始终是无坐标的，而坐标向量只是数字或其他对象的集合。 几何向量 \(\b{v}\)