之前：双范畴中的Kan扩展。在编程中，行动范畴在光学中扮演着核心角色：透镜、棱镜、遍历等。为了理解行动范畴，我们先从单元范畴的定义开始。 单元范畴 是带有张量积的范畴。张量积是一个函子。我们假设该乘积是可结合和单位的——至同构。它意味着有一个可逆的结合器：在所有三个论元中都是自然的。我们还有一个单位对象和两个（可逆的，自然的）单位器：为了更好地理解它，我们可以尝试在Haskell中建模一个单元范畴。我们通过张量积的类型来参数化它，ten，我们希望它是一个双函子：定义Hask的子范畴的标准方法是通过施加约束来限制对象的类型。这种限制有一个特殊的类型，称为约束：这种约束的常见例子是类型类。例如，单元将限制范畴的对象为单元。（原则上，我们还应该限制箭头的类型，这里限制为单元态射。）我们可以将单元范畴的单位指定为一个关联类型（由ten参数化）： type Unit ten :: Type 单元应为该范畴的对象，因此它应满足约束。我们可以在定义中将其编码为前提：obj (Unit ten)。这会导致循环性，我们可以通过使用语言修饰符UndecidableSuperClasses来克服它：最后，我们可以添加结合器和单位器（及其逆）：注意这些函数类型中的obj约束和张量的中缀表示。让我们算出几个示例。最简单的是所有类型的范畴，其中张量为笛卡尔积。我们使用空类定义Hask，并使所有对象成为其实例：类似地，我们可以定义一个使用Either作为张量积的单元范畴，或者使用单元作为对象约束。 行动范畴 是一个支持单元范畴作用的范畴。你可以把它看作是通过单元范畴中的对象“乘以”或“缩放”此范畴的对象。可以将（左）作用定义为从乘积范畴到的函子；或者在柯里化之后，作为从到自函子范畴的函子：一致性条件是可逆的自然变换，它们将作用与张量积及其单位关联起来：此作用在两个论元中都是函子的，因此我们的Haskell翻译为了简单，将其确定为双函子。（文本函子作用也是可能的。从范畴的角度来看，它将对应于使用作为单元范畴。）另一个简化的假设是，该作用唯一确定张量积，在这里编码为功能依赖 act -> ten。行动范畴最简单的示例是笛卡尔积的自作用。在这里，单元范畴自身对自身的作用： 单元函子 使用相同单元范畴进行作用的行动范畴形成一个范畴。该范畴中的态射是（严格的）单元函子。这些函子将一种作用映射到另一种：在Haskell中，我们可以将其建模为：实际上，行动范畴形成一个双范畴，保留作用的自然变换在单元函子之间起作用。这是一个非平凡的行动范畴之间单元函子的有趣示例：Haskell代码可在此处获得。