在1931年，奥地利逻辑学家库尔特·哥德尔取得了历史上可能是最惊人的智力成就之一。当时的数学家们寻求数学的坚实基础：一组基本的数学事实或公理，既要自洽——从不导致矛盾——又要完备，作为所有数学真理的基石。但是，哥德尔在25岁时公布的令人震惊的不完备性定理，粉碎了这个梦想。他证明了，任何你可以假设的作为数学可能基础的公理集合，最终都会是不完备的；总会存在一些关于数字的真实事实，无法通过这些公理来证明。他还表明，任何候选的公理集合永远无法证明其自身的一致性。他的不完备性定理意味着不存在一个关于一切的数学理论，无法统一可证明的和真实的内容。数学家们所能证明的取决于他们的起始假设，而不是从中涌现出所有答案的任何基本真理。在哥德尔发现后的89年中，数学家们发现了正是哥德尔的定理预言的那些无解问题。例如，哥德尔本人帮助确立了关于无限大小的连续统假设是不可判定的，停机问题也是如此，停机问题询问的是，一个接收随机输入的计算机程序会无限运行还是最终停止。甚至在物理学中也出现了不可判定的问题，这表明哥德尔的不完备性不仅影响数学，而且——以某种难以理解的方式——影响现实。以下是哥德尔如何证明他的定理的简化非正式概述。哥德尔编号 哥德尔的主要手法是将关于一组公理的陈述映射到系统内的陈述上——也就是映射到关于数字的陈述上。这种映射使得一组公理能够清晰地谈论自己。这个过程的第一步是将任何可能的数学陈述或陈述序列映射到一个唯一的数字，称为哥德尔数。在埃内斯特·纳格尔和詹姆斯·纽曼1958年所著《哥德尔的证明》中提出的哥德尔方案的稍微修改版本中，开始于12个基本符号，这些符号作为表达一组基本公理的词汇。例如，某物存在的陈述可以用符号∃表示，而加法用+表示。重要的是，符号s表示“后继”，提供了一种指定数字的方法；例如，ss 0指的是2。这12个符号随后被分配了哥德尔数1到12。常量符号 哥德尔数 通常含义 ~ 1 非 ∨ 2 或 ⊃ 3 如果…那么… ∃ 4 存在… = 5 等于 0 6 零 s 7 后继 ( 8 标点符号 ) 9 标点符号 , 10 标点符号 + 11 加 × 12 乘接下来，表示变量的字母，从x，y和z开始，映射到大于12的质数（即，13，17，19，…）。然后，这些符号和变量的任何组合——也就是说，任何可以构造的算术公式或公式序列——都会有自己的哥德尔数。例如，考虑0 = 0。这个公式的三个符号对应哥德尔数6, 5和6。哥德尔需要将这个三位数序列更改为一个唯一的数字——一个没有其他符号序列可以生成的数字。为此，他取前面的三个质数（2, 3和5），将每个质数分别提升到序列中同一位置的符号的哥德尔数，然后将它们相乘。因此，0 = 0变为2 6 × 3 5 × 5 6，或243,000,000。这个映射之所以有效，是因为没有两个公式会最终得到相同的哥德尔数。哥德尔数是整数，整数的质因数分解只有一种方式。因此243,000,000的唯一质因数分解是2 6 × 3 5 × 5 6，这意味着只有一种可能的方式可以解码哥德尔数：公式0 = 0。然后，哥德尔更进一步。一个数学证明由一系列公式组成。因此，哥德尔也给每个公式序列一个唯一的哥德尔数。在这种情况下，他首先从前面的质数列表开始——2, 3, 5等。他随后将每个质数提升到公式在序列中相同位置的哥德尔数（例如，如果0 = 0首先出现，则为2 243,000,000 × …）并将所有内容相乘。算术化元数学真正的好处在于，甚至关于算术公式的陈述，称为元数学陈述，仍然可以转译成具有自己哥德尔数的公式。首先考虑公式~（0 = 0），意思是“零不等于零”。这个公式显然是错误的。然而，它有一个哥德尔数：2提高到1的幂（符号~的哥德尔数），乘以3提高到8的幂（“开括号”符号的哥德尔数），依此类推，得到2¹ × 3 8 × 5 6 × 7 5 × 11 6 × 13 9。因为我们可以生成所有公式的哥德尔数，甚至是错误的公式，我们甚至可以通过谈论它们的哥德尔数来理性地讨论这些公式。