我们的旅程将从尝试解决下面提供的方程组开始：起初这看起来像一个普通的两个方程的系统——但如果我们花一点时间尝试代入常规的整数/实数，你就会发现一点困境。让我们尝试将 3 代入 x 和 y：现在让我们尝试将 4 和 2 代入，以看看这是否更接近解决方案：再多尝试一下应该能让我们意识到这里面有些问题：似乎无法使用我们常规的数字系统来解决上述方程——无论我们尝试代入什么，答案似乎总是相距甚远。尝试使用负数来寻找可行的解决方案也无济于事，因为乘法步骤需要两个负数，而没有两个负数可以相加得到大于 0 的数字。那么，我们该怎么办？好吧——让我们试着以代数方式解决我们的方程，而不是通过以上的启发式方法。我们重新排列第一个方程以求解 y：我们将其代入第二个方程以获得：接下来我们扩展左侧：让我们将所有项移到左侧，以将方程转换为标准二次形式：最后，我们将每个项乘以 -1，以使平方项为正：看一眼上面的方程给我们提供了一些神秘感：当我们尝试作图时，它似乎根本不与 0（在 x 轴上）相交：因此看起来我们的方程没有解——但让我们现在尝试代数方法进行快速双重检查——为此，我们可以使用二次公式为上述方程提供一个解。提醒一下，下面提供的二次方程形式：其解由公式给出：根据我们的二次公式，我们知道 a = 1, b = -6, c = 36，我们可以代入以获得：在此，我们再次遇到一个大谜团：我们原始二次公式的解似乎涉及到一个负数的平方根（-108），但这在我们的常规实数系统中是不可能的。我们碰到了一堵墙。这个涉及似乎不可能的负数平方根的数学墙正是意大利数学家杰罗拉莫·卡尔达诺在 1545 年所面临的。当他开发开创性的立方方程通解时，卡尔达诺注意到了一些奇怪的事情：即便一个方程产生了一个完全的实在答案，通往那里所需的代数路径却迫使他暂时计算负数的平方根。例如，在他的一些工作表达中，会出现需要操作诸如 -15 的平方根与其他项混合的数量。卡尔达诺发现，如果你执意遵循这些被禁止的数量的代数标准规则——进行乘法和简化，那么虚数部分会最终消失，留下一个完美准确的现实世界解。实际上，在 1545 年，他出版了《大艺术》（Ars Magna），这是文艺复兴时期最重要的代数书籍之一。在其中的许多问题中，卡尔达诺要求读者将 10 分成两部分，其乘积为 40。用现代符号来说，他在寻找两个数 u 和 v，使得：这应该看起来熟悉，因为它与我们原来的关于 x 和 y 的问题非常相似。使用类似于我们将原始方程转化为二次方程的方法，卡尔达诺将上面的式子简化为如下方程：应用二次公式会产生对卡尔达诺时代几乎所有数学家来说看起来不可能的结果：此时，普通算法的所有直觉都在告诉你停止——你应该无法计算 -15 的平方根。没有实数的平方是负的，因此这两个部分必须是：但现在几乎神奇的事情发生了：如果我们暂时忽略这个不可能，仅仅应用通常的代数规则：最终的产品是：然而，尽管看到数学在他面前清晰地运算出来，卡尔达诺却无法相信这一点。他将整个操作视为一种“便利的伎俩”——是一种没有实际意义或实际价值的数学魔术。法国哲学家勒内·笛卡尔（René Descartes，1596-1650）对此种怀疑表示强烈的赞同——看到这些奇怪的数字，笛卡尔将它们视为无意义的虚构，并创造了“虚数”一词来形容负数量的根——这是一个贬义标签，意在嘲笑它们为纯想象的产物，而不幸的是，这一标签在几个世纪内持续存在。然而，在 18 世纪期间，数学家们发现自己无法忽视这些数字。它们不断在微积分、代数和物理中出现，成为不可或缺的捷径。最终，莱昂哈德·欧拉为它们提供了一个适当的归宿和标准符号，引入符号 i 来表示 -1 的平方根：即使在欧拉的方法中...