发布于2026年6月19日，作者：亚当·韦斯皮泽。我的灰hound狗Bebop，体重83磅，高33英寸，热爱三件事：快速奔跑、在家里跟着我转悠，以及零食。无论是咀嚼零食、从离派对太远的孩子手中抢来的披萨，还是一小盘猫粮，他都有敏锐的嗅觉和运动能力，能公平地获取自己喜欢的食物。我观察他吃东西已经好多年，因此，意识到我不知道他最喜欢的零食是什么，并且也无法轻易地询问他，这让我感到沮丧。幸好，对于Bebop的味蕾来说，Bradley-Terry模型为我们提供了一种通过成对比较来找出“零食强度”的方法。该模型给每个竞争者（或零食）指定(i)一个正的强度得分p_i。给定两个竞争者i和j，i击败j的概率为：P_r(i > j) = p_i / (p_i + p_j)。等效地，如果我们将每个强度写成指数得分p_i = e^(β_i)，那么相同的概率可以写作：Pr(i > j) = e^(β_i) / (e^(β_i) + e^(β_j))。因此，该模型表明：两个竞争者潜在强度之间的差异决定了一个击败另一个的对数几率。国际象棋中使用的Elo等级系统与之密切相关。如果R_i和R_j是Elo评分，则：Pr(i > j) = (10^(R_i / 400)) / (10^(R_i / 400) + 10^(R_j / 400))。然而，现代Elo评分是通过增量计算的，以避免昂贵的重新计算周期并允许在每场比赛后更新评分。比赛结束后，(A)的评分通过将实际结果与预期结果进行比较来更新：R_A' = R_A + K(S_A - E_A)，其中S_A是实际得分：胜利为(1)，平局为(0.5)，失败为(0)。常数K控制评分在每场比赛后移动的幅度。因此，如果一名玩家赢得了他们预计会赢的比赛，他们的评分只会稍微有所变化。如果他们赢得了一场被预计会输的比赛，他们的评分会大幅变动。从这个意义上说，Elo可以被视为Bradley-Terry思想的在线版本：在每个结果之后，向预测误差的方向移动评分。Elo对象棋这样的系统是合理的，因为比赛是持续进行的，评分需要立即更新。在这个实验中，数据集足够小，我们可以在收集试验后直接拟合Bradley-Terry模型。你也许会认出电影《社交网络》中提到的相关模型，其中成对比较的全球排名推动了FaceSmash，这是马克·扎克伯格早期的社交媒体实验。第三个应用是Chatbot Arena，它使用Bradley-Terry风格排名来评估模型性能。Bradley-Terry是在你想要全球排名但只有一对一比较时会使用的解决方案。实验实验的设置非常简单：我们可以拿一套零食，为它们贴标签，并进行一系列成对比较，以发现哪种零食是最好的！在实验之前，我训练了一个“选择”指令。每天晚上大约11点，我会去厨房，选择两种不同的零食，喊出“选择”这个词，并将零食置于双手中，允许Bebop只拿一个，另一个则放回包内。当实验开始时，Bebop已经习惯了这个例行程序，会先嗅闻两种零食，然后再选择其中一种。为选择零食，我使用了我们有历史的零食组合，比如Greenies，并搜索了多种不同形式的零食。每种零食的大小略有不同，但为了简化起见，我决定忽略这些差异。尽管这可能会在结果中引入大小偏见，但实验是在晚餐后约2小时进行的，这时他应该已经吃饱了，与我在实验后给他零食时的方式相符。换句话说，我不想参与一个需要我切割和称量狗零食的实验。选择的零食如下：零食A是MON2SUN，鸭子+生皮。亚马逊链接；零食B是Greenies，大号。亚马逊链接；零食C是Pork Chomps，红色的。亚马逊链接；零食D是MON2SUN，鸡肉+生皮。亚马逊链接；零食E是Pur Luv鸡肉，干鸡肉。亚马逊链接；数据对于配对，我创建了一个每日计划，进行两次一对一比较。完整源代码在github上；C/B :: B E/B :: E。在这个例子中，我们有两个一对一的比赛，这是一整天的试验。第一个比赛中，零食C在左手，零食B在右手，获胜的是B。第二个比赛中，E在左手，B在右手，获胜的是E。为了估计结果的确定性，我进行了引导实验：重复对试验进行重采样，拟合Bradley-Terry模型，并记录每种零食多次获胜的频率。Github源码。实验进行到一半时，我意识到零食C和B，