我希望你们不会厌倦8087，因为我有另一篇关于Intel浮点芯片的文章。1980年，Intel推出了8087，使IBM PC和其他系统中的浮点运算变得更快。在这篇文章中，我将探讨该芯片切线指令背后的算法。一种流行的三角函数算法称为CORDIC。另一种方法则是多项式逼近。8087结合了这两者，以获得高精度和高性能。8087比8086微处理器提供了巨大的速度提升，计算一个切线的时间为90微秒，而不是13000微秒。通过检查8087的电路和微代码，我可以解释切线指令背后的算法，称为FPTAN。为了探索8087的电路，我用凿子打开了一个芯片的外壳，并用显微镜创建了一幅高分辨率的图像。微代码ROM是芯片中央的大矩形区域，存储着控制芯片的1648个微指令。芯片的下半部分（红框）是数据路径，执行对80位值的浮点计算。8087数据路径的特写图，显示了FPTAN使用的功能块。放大数据路径可以看到相关的功能单元。指数ROM保存算法所需的固定指数值。常量ROM保存常量，包括CORDIC算法使用的常量。移位器是一个大型组件；它将64位值向左或向右移动任意数量。加法器是8087计算的核心；它除了提供加法和减法外，还用于乘法、除法和平方根的循环中。B寄存器保存加法器的一个输入，而多个来源可以提供另一个输入。和寄存器保存加法器的输出。八个堆栈寄存器和临时寄存器保存浮点数。最后，移位寄存器保存CORDIC计算的16个状态位。CORDIC是一种聪明的算法，能够使用简单的硬件快速计算超越函数：它使用移位和加法指令结合查表，但不需要乘法或除法。这个算法可以追溯到1956年，当时它是为B-58 Hustler研发的，B-58是第一架能够以马赫2飞行的轰炸机。该飞机配备了一台模拟导航计算机，但模拟组件提供的精度有限。工程师Jack Volder的任务是设计一台数字计算机，以取代模拟计算机。一个关键问题是，模拟计算机可以通过一个称为分 resolver的机电设备轻松生成正弦和余弦。但三角函数在数字上生产是困难的，尤其是考虑到那个时代的慢速晶体管。展出在德克萨斯州圣安东尼奥的Convair B-58A Hustler（详情）。Jack Volder想出了使用简单硬件快速计算三角函数的方法。他将算法及其实现的计算机称为CORDIC：“坐标旋转数字计算机”。CORDIC将一个角度转换为一个向量，其中向量的坐标提供必要的三角函数。关键在于将角度分解为一系列特殊角度，这些角度使得向量旋转变得容易。这些特殊角度是预先计算并存储在表格中的，因此CORDIC计算可以快速执行，即使是在1950年代的硬件上。每次CORDIC迭代提供了一位额外的精度，使得算法快速收敛。CORDIC变得非常流行，包括在科学计算器中，它们使用十进制CORDIC而非二进制。我会尽量将数学简化，但在这一部分我将快速解释CORDIC是如何工作的。下面的图展示了三角函数与点的坐标之间的关系。假设你有一个角度θ；它指定单位圆上的一个点（X，Y）。基本公式是X=cos θ，Y=sin θ，以及Y/X = tan θ。因此，如果你可以确定坐标（X，Y），那么你就可以确定三角函数的值。如果该点不在单位圆上，例如（X'，Y'），那么你仍然可以轻松确定tan θ。（剧透：这就是8087所做的。）然而，sin θ和cos θ就变得复杂了。角度、X和Y坐标与三角函数之间的关系。如果你做过计算机图形学，你可能见过旋转矩阵如何通过一个角度旋转一个点。（如果你不熟悉旋转矩阵，你可以在这里阅读，或者只需相信它是有效的。）将一个点（X，Y）与旋转矩阵相乘，会得到新的点（X'，Y'），如下图所示。一个点可以通过使用旋转矩阵进行旋转。不幸的是，由于旋转矩阵（1，见下文）需要sin和cos，似乎并没有帮助解决我们的问题。然而，我们可以将矩阵除以cos θ；这看起来似乎更无助。