一个变量的函数可以通过空间平移进行转换，从而获得一个新函数，也可以通过频率平移进行调制，从而获得一个新函数。可以组合这两种操作以获得时频平移：（这可以被视为海森堡群的魏尔表象的一部分，但我们在这里不将采用表示理论的视角。）一些函数在它们的时频平移之间遵循有限的线性关系。例如，正弦函数遵循这种关系，然而，Heil-Ramanathan-Topiwala (HRT) 猜想指出，一旦对施加了一些合理的衰减条件，则不存在这样的关系：猜想 1 (HRT 猜想) 如果不为零，则不存在形式为对某些不同点和某些系数（并非全为零）的关系。HRT 猜想的一个特例，还处于开放状态，假设是Schwartz函数。关于这个猜想已经有很多积极的结果在前。我在此只提及几个。Linnell的一个结果指出，当位于的一个离散子群的平移中时，猜想是正确的；这个结果（以及处理共线情况的论证）确立了所有情况下的成立，另外几个涉及的情况的部分结果也已知。如果以适当的超指数速率衰减，猜想也是已知的，Bownik和Speegle的研究给出了这样的结果。我通过与同事的各种讲话和谈话了解到这个猜想，甚至短暂尝试过一段时间，尽管没有特别认真（或有进展）。因此，看到这个猜想被Faulhuber、Petersen、van Velthoven和Voigtlaender解决，甚至在Schwartz情况下，是一个令人愉快的惊喜：定理 2 存在复数，非全为零，不同的点，以及一个非零的Schwartz函数，使得或许在这一时期这个结果是AI辅助而不令人惊讶。然而，我认为作者对他们的AI使用很负责，最终的论证是手写的，并有可读的论证概述，以及对方法、与过去文献的关系和对结果的其他独立数值检查的适当讨论。负结果只稍微超出积极结果的范畴：现在已将增大至，且除一个点外，所有点均位于（的一个平移中）离散子群（实际上使用了明确的子群）。构造的函数是光滑的并快速衰减，但不是解析的或超指数衰减的，这可能会与已知的积极结果产生冲突。除了用于提出初始证明策略的AI外，还使用了更传统的数值计算来验证论证的一个步骤。我没有时间对结果进行完整的消化，但（在阅读了引言并使用了一些我自己的AI辅助后）我能够在高层次上理解主要思想。前几步化简是相对标准的。设置和，可以将问题视为解决特征值问题。时频平移被选择为通过某种无理平移位于离散子群的平移中。如果是在标准晶格的平移中工作，那么使用的Zak变换是自然的，但事实证明，由于拓扑原因（与零均值的标量准周期函数被强制为零的事实有关），在这样做时该方法并不完全有效，因此作者使用了稍微密集的晶格，而不是与Zak变换的向量值版本相关，取值于而不是。应用此变换，特征值问题可以通过标准计算转化为“向量共循环问题”，其中是一个非零光滑准周期向量值函数，是一个无理平移，是一个依赖于、和选择的某些显式矩阵值函数。如何解决这个方程？这里的激励场景是如果矩阵函数被某些单位幅度的光滑向量值函数的秩一函数替换。然后可以通过取和来解决方程。这种形式的函数是不可能完全实现的，但通过一些数值计算和聪明的AI辅助猜测，作者能够找到一个选择，使得近似等于形式的秩一函数，实际上得到了统一估计。如所示，这样的近似是足够的，以进行收缩映射论证，以找到变体的解（1），即某些光滑的及。 （在这里，在下方得到操作符范数的界限是重要的；他们几乎能够做到这一点，获得的数值界限为，尽管这个界限可能不是最佳的。）主要剩余障碍是“特征值函数”在参数中变化而不是常数。（顺便说一句，这个问题在之前的研究中在某种程度上被预见到。）