最近，Anthropic的一名员工给Claude提出了一个不合理的挑战。这与数学上最著名的未解决问题之一有关：对黎曼假设进行真正的探索。Claude确实进行了一次真实的尝试，但正如您可能预料的那样，如果您熟悉这个任务的难度（黎曼假设可以追溯到1859年，并且有一百万美元的奖金），它并没有成功。然而，在尝试过程中，它在一个相关问题上意外取得了进展。Claude的一个未发布的研究版本改善了黎曼ζ函数零点的下界分数，这些零点满足黎曼假设。借助于过去几十年数学家的广泛研究，它将这一下界从41.6%提高至67.2%。Anthropic的两位数学家对Claude的论文进行了研究和验证，并为专家们制作了一份非正式说明，简明扼要地阐述了Claude的证明。Claude还生成了一份可以正式验证的结果证明。我们特别感谢Brian Conrey和Dan Goldston这两位在该领域的专家，他们在非常短的时间内慷慨地审查了这篇论文。我们不期待Claude所使用的技术能导致证明黎曼假设，但其工作成为了AI模型数学能力进展速度最新的例证。在这篇文章中，我们讨论了Claude是如何处理这个问题，以及它发现了什么。黎曼ζ函数黎曼ζ函数描述了质数的分布：该函数取零值的每一个位置都对质数序列提供了越来越精细的细节。黎曼假设认为，决定质数的零点都存在于某条特定的垂直线上。这已成为数学中最重要的猜想之一：许多结果都假设该命题成立，以提供质数的某种随机性。到目前为止，还没有人能够证明或反驳黎曼假设，但数学家们在研究黎曼ζ函数及其零点时在许多相关方向上取得了进展。其中之一就是量化位于该直线上的零点的最小比例：随着时间的推移，他们逐渐将这一已知常量比例提高至41.6%。另一个方向涉及直线上的零点分布。特别是在1973年，Montgomery在这一领域引入了许多新技术，尽管这些技术假定假设成立。最近，几位数学家（Baluyot，Goldston，Suriajaya和Turnage-Butterbaugh）发表了一系列工作，使Montgomery的技术在不假设黎曼假设成立的情况下也能奏效，这意味着它们可以支持提高直线上零点的下界常量的工作。Claude的结果在很大程度上借鉴了这一研究方向，以及Bombieri的一篇2000年的论文。Claude的发现Claude发现将Baluyot、Goldston、Suriajaya和Turnage-Butterbaugh的结果与Bombieri的工作结合，提供了一种超越之前的最先进下界比例41.6%的方法，将其提高至67.2%。Claude发现的简短技术说明如下：Claude建立了一个适合的函数空间，其中二次型由Weil诱导，并且正（分别负）定子空间源自直线上的零点。然后，Claude仅仅在一阶和二阶矩信息方面写下了关于二次型秩的不等式。（后者在质数的对偶图像方面的成功计算，或者通过控制希尔伯特变换，在解析数论中并不令人惊讶。）全空间的处理，考虑正负定性并共同考虑，允许二次型非对角化，可以说是Claude基于重要先前工作得出结论的步骤。完整的技术说明可在论文中找到。Claude如何得出其结果的解释在附录中提供。Claude的方法未发布的研究版本Claude通过Claude Code在两次会话中找到了新的下界，使用了总计3100万个输出标记。Anthropic的一名工作人员Jarred Sumner（非数学家）促使Claude对此假设“进行真正的探索”，将数学选择留给模型。最初，Claude生成了650个想法，但没有一个有效。Jarred促使Claude再次尝试，它花了一天半的时间协调大约60个Claude子代理，这次的深度更大：它们之间运行了2400个shell命令并编写了数百个Python脚本。子代理们对已知的ζ零点进行了数千次数值检查，并相互审核彼此的工作。在整个过程中，Jarred的输入主要限于鼓励Claude的消息（大多是“继续努力”或“相信自己”的变体）。