一个在级别 f_(ω+1) 的 10 状态机器 1RB0RA_1LC1LF_1RD0LB_1RA1LE_1LI0LC_0RG1LD_1RH1LG_1LC0RG_0LJ0LI_1RZ0LC 以下我们称这个机器为 n1。它从空白磁带停止，其精确分数在 Coq 中被证明，并且得分介于两个值 f_(ω+1) 之间。目前的 BB(10) 冠军已公布界限 f_ω(f_ω(25))，在快速增长层次的 ω 级别。n1 超越了它，并将 BB(10) 提升到级别 ω+1。写于 2026-10-08。0 1 A 1RB 0RA B 1LC 1LF C 1RD 0LB D 1RA 1LE E 1LI 0LC E0 是基机器的停止传递 F 0RG 1LD G 1RH 1LG H 1LC 0RG I 0LJ 0LI 新的 J --- 0LC 新的；J0 未定义且为停止（字符串中的 1RZ）。它的来源。状态 A-H 形成一个 8 状态机器，我们称之为基机器。它在状态 A-E 上与 BB(8) 记录 1RB0RA_1LC1LF_1RD0LB_1RA1LE_1RZ0LC_1RG1LD_1LC0RH_1RG1LF （../BB8/）一致。它执行与记录相同的数字列表计算，这是 BB(7) 冠军程序 36 个数字的结果。n1 保留基机器，将其停止变迁 E0 发送到新状态 I，并添加状态 I 和 J。主要事实。这里 T = 2↑^37 3，是 BB(8) 记录计算的值，F(x) = 2↑^x 4 = 2↑^(x+1) 3。“ones”是当 J 读取 0 时磁带上 1 的数量。标准得分是 σ = ones + 1，因为停止传递写入一个 1。停止 是的，机器检查（Coq，没有公理）。精确分数机器检查：ones = 2W + 3·2↑^(W+1)(2↑^n 5) + 12·JJ + 5，其中 JJ = (3T − 13)/7，(n, W) 来自显式递归（第 4.4 节）。下界机器检查：ones > F^N(33)，也就是说，F 应用 N = (6T − 19)/7 ≈ 0.86·T 次到 33。级别机器检查，与标准快速增长层次：f_(ω+1)(JJ − 2) < ones < f_(ω+1)(6T)。格雷厄姆数机器检查：ones > 格雷厄姆数。BB(10) 冠军被击败，机器检查与冠军自身 Coq 证明的精确分数对比。1. 如何运作 1.1 读取磁带 符号遵循 Ligocki 对 BB(7) 冠军的分析（bbchallenge 维基页面，1RB0RA_1LC1LF_1RD0LB_1RA1LE_1RZ0LC_1RG1LD_0RG0RF）。标记。磁带是一个块的字符串 D(t) = (10)^t 1。因此 D0 = 1，D1 = 101，D2 = 10101，依此类推。一个块的字符串只以一种方式分裂为标记。配置。[t_1, t_2, …, t_k | A] 意味着磁带 0^∞ D(t_1) D(t_2) … D(t_k) D0 D(A) H> 0^∞ 标记从左到右列出，正如在磁带上一样，所以 t_k 紧邻头。A 是累加器。紧邻它的 D0 是符号的一部分，不被列出。头在 D(A) 右侧的空白单元状态 H 中。列表内，x^j 意味着 j 份标记 x。数字和零。一个标记 3d + 1 是数字 d。特别是标记 1（即 D1）是一个零，而 1^n 意味着 n 个零。单位和阻塞器。一个标记 3d + c，其中 c ∈ {0, 1, 2} 代表 d 单位。清除一次移除一个单位。当一个标记没有剩余单位时，它变为 c。如果 c = 1，它是一个零。如果 c = 0 或 c = 2 它是一个阻塞器：清除规则无法从 D0 或 D2 借用。深度。一个标记的深度是它与累加器之间的零的数量。在 […, t, 1^j | A] 中，标记 t 的深度是 j。值。一个积累器 A ≡ 1 (mod 3) 的值为 v = (A + 8)/3。重置累加器 A = 4 的价值是 v = 4。箭头。2↑^0 x = 2x, 2↑^1 x = 2^x，2↑^(k+1) x 应用 2↑^k x 次，从 1 开始。两个身份经常使用：2↑^k 2 = 4， 2↑^(k+1) 3 = 2↑^k 4。在 Ligocki 的符号中，B(a; d_1, …, d_k) = [3d_k+1, …, 3d_1+1 | 3a+1]，并且 v = a + 3。他的 g_j(x) = 2↑^j(x+3) − 3（带有 BB(8) 记录的常量）是映射 v ↦ 2↑^j v。示例。在步骤 6447 时，n1 的配置是 [7, 1^35 | 4]：一个数字 2，然后 35 个零，然后累加器 4（v = 4）。在磁带上这是 D7 (D1)^35 D0 D4，也就是 101010101010101 (101)^35 1 101010101 H> 在 Ligocki 的符号中它是 B(1; [0]*35, 2)，这是 BB(8) 记录的主要阶段的开始。1.2 引擎 n1 使用 BB(7) 冠军和 BB(8) 记录的清除规则：在深度 j 上清除一个标记的单位会将值 v 变为 2↑^j v。在深度 0 时，这会将 v 加倍。在深度 1 时，它会给出 2^v，在深度 2 时则会构建一个 v 个 2 的塔。清除总是适用于最近的不是零的标记。如果该标记是阻塞器，则不适用清除规则，列表被耗尽。在 BB(8) 记录中，耗尽的列表会导致停止。在 n1 中，它开始第 2 节的一个特殊事件。1.3 阶段 1：BB(8) 记录的计算 从空白磁带，n1 在 6447 步后到达 [7, 1^35 | 4]。然后它在深度 35 清除 7 的两个单位：v = 4 → 2↑^35 4 → 2↑^35 (2↑^35 4) = 2↑^36 4 = 2↑^37 3 = T 结果是 [1^36 | 3T − 8]：36 个零和值 v = T。这些是记录自己的配置。BB(8) 记录在此处停止，其最后的扫荡写了大约 12T 个 1。在模拟中，到目前为止使用的规则从未读取 E0（第 1.8 节），因此在这里 n1 的行为与基机器完全相同。1.4 阶段 2：T 变成倒计时 列表被耗尽。向左走一步（事件 H）在最左端写下了 2A + 4 = 6T − 12 个新的零。然后 S0（首次读取 E0）整理 t