多年来，数学家、逻辑学家和计算机科学家们发展出了各种演算。如果你有计算机科学的背景，你可能听说过λ演算，这是一种由阿隆佐·丘奇发展起来的计算模型。如果数据库是你更感兴趣的领域，那么你在不知情的情况下接触过关系演算，因为SQL是基于关系演算的。如果你对形式方法感兴趣，那么你一定接触过谓词演算，更广为人知的是一阶逻辑。最后，如果你喜欢阅读关于编程语言的学术论文，你几乎肯定遇到过序列演算。然而，当有人说“演算”而没有任何修饰（例如，“我下学期要学演算”）时，关于他们所指的演算并没有歧义：它总是指一种特定的演算。或者说，实际上是两个深深相关的演算：微积分和积分学。从视觉上来看，你可以把微积分视为计算一个函数在给定点的斜率。例如，考虑这个图形：你可能会问，“当x=6时，这条曲线变化得有多快？”换句话说，在非常接近x=6的邻域内，这个函数的斜率是什么？微积分使你能够计算一个函数在给定点的斜率。另一方面，积分学则可以看作是计算某一特定区间下图形的面积。例如，你可能会问“在x=2到x=7之间，这条曲线下的面积是什么？”积分学使你能够计算一个函数在给定区间下的面积。如果你学习微积分，你首先会学习微分学（有时称为“微积分1”或“Cal 1”），然后你会学习积分学（“Cal 2”）。当你学习微分学时，你会学习计算函数的导数（某点的斜率）的规则。而且，实际上无论函数是什么类型，计算导数都相当简单。这只是一种算法，这意味着如果你愿意，你可以很容易地编程让计算机计算导数。（顺便提一下，自动计算导数是训练LLM过程中一个基本的元素。如果你感兴趣，可以查阅自动微分）。然后，你进入Cal 2，了解如何计算积分（曲线下的面积）。你很快会发现，与Cal 1不同的是，对于任意函数，没有一个算法可以计算积分。相反，你学到的是一袋技巧，用于计算不同种类函数的积分。你还会了解到，对于某些函数，积分根本没有封闭解！例如，考虑高斯函数，它出现在正态分布中。零均值和单位方差的高斯函数看起来像这样：12πe−x22\frac{1}{ ext{√{2π}}} e^{-rac{x^2}{2}}臭名昭著的钟形曲线让学生计算这个函数的导数是完全合理的Cal 1期末考试上的问题，答案看起来是这样的：−x2πe−x22-\frac{x}{ ext{√{2π}}}e^{-rac{x^2}{2}}然而在Cal 2期末考试中让学生计算这个函数的积分是不公平的，因为用他们在课堂上学到的技巧是无法做到的（至少，我学习的技巧在Cal 3中才学到）。因为这个积分没有封闭形式的解，你需要将解表达为无穷级数，如：12π∑n=0∞(−1)n2nn!(2n+1)x2n+1=12π(x−x36+x540−x7336+x93456−⋯)\frac{1}{ ext{√{2π}}} ext{∑}_{n=0}^{ ext{∞}} rac{(-1)^n}{2^n n!(2n+1)}x^{2n+1} = rac{1}{ ext{√{2π}}} ext{(} x−rac{x^3}{6}+rac{x^5}{40}−rac{x^7}{336}+rac{x^9}{3456}−⋯ ext{)}（注：我问AI关于高斯的积分，我希望它没搞错！）微积分和积分学之间的关系并不显而易见（至少对我来说不是）。然而，事实证明这两种演算是同一枚硬币的两面，因为积分是反导数。也就是说，如果f(x)是F(x)的导数，那么F(x)是f(x)的积分。这个结果被称为微积分基本定理。微积分与积分学之间的这种联系引出了一个几乎是哲学性的问题：为什么计算导数要比计算积分容易得多？早在2011年，有人关于这个问题在数学栈交换上提问：为什么积分要比微分难得多？获选的最佳答案是Qiaochu Yuan写的，以下是其中的核心内容（强调是我的）：“微分是一个‘局部’操作：要计算一个函数在某点的导数，你只需知道它在该点附近的行为。然而积分是一个‘全局’操作：要计算一个函数在某个区间的定积分，你必须知道它在整个区间的行为（而要计算不定积分，你必须……）