来自维基百科，自由百科全书。三重积规则，亦称循环链规则、循环关系、循环法则、欧拉链规则或互惠定理，是一个公式，涉及三个相互依赖变量的偏导数。该规则在热力学中有应用，其中三个变量通常可以通过形如 f(x, y, z) = 0 的函数相关联，因此每个变量被视为其他两个变量的隐函数。例如，流体的状态方程以这种方式将温度、压力和体积联系起来。三重积规则涉及这些相互关联的变量 x、y 和 z，来源于对隐函数定理结果的互惠关系应用，并由下式给出，这里每个因子是分子中变量的偏导数，视为其他两个变量的函数。三重积规则的优势在于，通过重新排列项，可以推导出多个替换恒等式，这使得可以替换难以分析评估、实验测量或积分的偏导数，变为更易处理的偏导数比值。例如，文献中存在各种其他形式的规则；这些可以通过置换变量 {x , y , z} 得出。以下是一个非正式的推导。假设 f(x, y, z) = 0。将 z 表示为 x 和 y 的函数。因此，总微分 dz 为：假设我们沿着一个曲线移动，其中 dz = 0，这条曲线由 x 参数化。因此 y 可以用 x 表示，在这条曲线上。因此 dz = 0 的方程变为：因为这对所有 dx 都必须成立，重新排列项得：将右侧的导数分开得到三重积规则。请注意，这个证明对偏导数的存在、精确微分 dz 的存在、在某个邻域中构造曲线使 dz = 0 的能力，以及偏导数及其倒数的非零值做了许多隐含假设。基于数学分析的正式证明将消除这些潜在的模糊性。替代推导：假设函数 f(x, y, z) = 0，其中 x、y 和 z 是彼此的函数。写出变量的总微分，将 dy 代入 dx。通过使用链规则，可以证明右侧 dx 的系数等于 1，因此 dz 的系数必须为 0。减去第二项并乘以它的倒数则得到三重积规则。本节基于皮帕德的第5章。假设我们给定四个实变量，限制在一个二维表面上移动。然后，如果我们知道其中两个变量，则可以唯一确定其他两个变量（在一般情况下）。特别是，我们可以将任意两个变量作为自变量，让其他两个作为因变量，然后可以计算所有这些偏导数。命题：证明。我们可以忽略。然后局部表面只是。然后，等等。现在将它们相乘。示例：理想气体定律。理想气体定律通过下式将压力（P）、体积（V）和温度（T）的状态变量联系起来：可以写为，因此每个状态变量可以被写为其他状态变量的隐函数：从上述表达式我们有几何实现：时间 t（实线）和 t + Δ t（虚线）时的行波轮廓。在时间间隔 Δ t 中，点 p2 将上升到在时间 t 时 p1 的相同高度。三重积规则的几何实现可以在其与旅行波的速度（右侧在时间 t 时的实线蓝色线和不久后的时间 t + Δ t 时的虚线）的密切联系中找到。波在传播时保持其形状，因此在时间 t 时位置为 x 的点对应于时间 t + Δ t 的位置 x + Δ x。如果要使该方程对所有 x 和 t 成立，必须满足 k Δ x − ω Δ t = 0，结果得出相位速度的公式。为了阐明与三重积规则的联系，考虑时间 t 的点 p1 及其对应的点（高度相同） p̄1 在 t + Δ t。定义 p2 为时间 t 处 x 坐标与 p̄1 相同的点，并定义 p̄2 为图上显示的对应点。 p1 和 p̄1 之间的距离 Δ x 与 p2 和 p̄2 之间的距离相同（绿色线），并将此距离除以 Δ t 可得波的速度。为了计算 Δ x，考虑在 p2 处计算的两个偏导数。将这两个偏导数相除，并使用斜率的定义（增高除以水平移动）给出我们期望的公式，其中负号考虑到 p1 相对于波的运动位于 p2 后面。因此，波的速度由下式给出：对于无穷小的 Δ t，我们恢复三重积规则。