当数百万人刚刚经历完国际足联世界杯决赛的兴奋时，数学界却正在酝酿一种不同的兴奋。Levent Alpöge，一位在人工智能（AI）公司 Anthropic 工作的数学家，在 X 上随意宣布他找到了雅可比猜想的一个反例，这是一道老生常谈、众所周知的数学问题，属于代数几何领域。他是使用了仅在几周前向公众发布的 Anthropic 大型语言模型 Claude Fable 5 来做到这一点的。这只是众多与大型语言模型合作的数学家取得的显著数学突破之一。但这一次似乎与以往有所不同。雅可比猜想是什么？首先，什么是猜想？这是一种某些数学家认为是正确的想法，但没有人能够证明或反驳。接下来是雅可比猜想。它相当抽象，但并不难以描述。该猜想涉及函数，这些函数就像小机器，你将一个或多个数字输入，然后根据某种规则或方程输出其他数字。在这个情况下，函数使用的是所谓的多项式。具体来说，这是关于数字在空间中表示点的情况，就像地图上的坐标。因此，我们可以想象，当函数输入一些数字并输出其他数字时，它正在移动空间中的点。你可以通过计算称为雅可比行列式的量来测试函数在空间中“良好”移动事物的程度。如果雅可比行列式始终是一个非零常数，则该函数在特定点周围从不折叠或压缩空间。雅可比猜想指出，当雅可比行列式是一个非零常数时，应该始终存在另一个函数，同样由多项式组成，能够逆转原来的函数。这将使所有点返回到它们的起始位置。并不是每个函数都是可逆的。例如，如果我们起始的函数将两个原始点移动到一个点上，那么我们就无法逆转它。一旦这些点合并，我们就无法区分它们，以便将它们送回正确的位置。长达数世纪的尝试与失败 雅可比猜想的二维版本由捷克数学家刘德维希·克劳斯（Ludwig Kraus）在 1884 年首次提出。它在 1939 年被德国数学家奥特-海因里希·凯勒（Ott-Heinrich Keller）推广到任何维度。这一猜想被认为是如此引人注目，以至于菲尔兹奖得主斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）在 1998 年的下个世纪数学问题列表中提到了这一点。在其漫长的历史中，雅可比猜想曾经是许多声称证明的主题，包括20世纪的两位著名数学家贝尼亚米诺·塞格雷（Beniamino Segre）和沃尔夫冈·格罗伯（Wolfgang Gröbner）。然而，在每种情况下，都发现细微的错误，使得这些论证失效。尽管如此，也有一些有效的努力表明，在各种限制下，该猜想是正确的。计算结果也表明，对于最高100次方的多项式，这在二维中是正确的（即，包括变量的幂次最高可为100）。但没有人能够证明一般情况或找到一个示例来显示该猜想是错误的。看似简单的答案 雅可比猜想如此引人注目的一个关键原因是，理论上，找到一个反例应该很容易。提出合并点的函数的示例是简单的，而具有恒定雅可比行列式的多项式映射的示例也是如此。然而，找到同时具备这两种特性的多项式映射才是挑战。确实，正如Math Stack Exchange上的用户在2017年发帖时指出的那样，“就我们所知，某个聪明的本科生可以简单地写出一个公式[…]，这将是对这个猜想的反例。”确实，Alpöge的函数正是如此，足够短，可以装入一条X帖子中。他发现了一个在三维空间中具有恒定雅可比行列式的-2的函数，该函数将多个输入点移动到同一个输出点，因此不可逆。这表明该猜想在大于2的每一个维度上都是错误的，而原始的二维猜想仍然是开放的。反例的简洁性使其他数学家容易验证。这是一个逐渐增加系列中的最新进展 Alpöge的发现是大型语言模型所取得的高调数学突破中的最新一例。最近的例子包括OpenAI对单位距离猜想的反驳，以及23岁业余数学家利亚姆·普赖斯（Liam Price）证明的厄尔德什第1196题。这两个例子都展示了AI模型最显著的优势之一。它们能够从不同的数学领域中汲取思想，以新颖的方式结合它们，从而证明惊人的结果。撰写时，详细信息尚未...