研究生证明了分形的量子不确定性原理这种结合了混沌、量子理论和无穷复杂的分形结构的数学，被称为“基础性结果”。 Ada Zejun Shen / Quanta杂志 引言 在量子尺度上，微小粒子表现出奇怪的行为。这种现象的一个原因是不确定性原理，它指出，对量子粒子位置的了解越多，关于其运动速度的了解就越少，反之亦然。最近，这一规则得到了罕见的升级。新的不确定性原理与分形相关，分形是指无论放大多少，其形状始终保持复杂。 十年前，麻省理工学院的数学家 Semyon Dyatlov 正在研究当量子粒子处于同样的混沌环境中时与普通粒子的行为是否有所不同。有时，一个混沌运动的物体可以被困在一个永远跟随分形样路径的状态。量子粒子也能做到这一点吗？量子粒子通常像波动一样扩散，这模糊了它们的确切位置。为了弄清楚量子粒子是否模糊到无法采取这些复杂的被困路径，Dyatlov 需要一个新的不确定性原理——一个可以处理分形的原理。 2016年，在已故著名数学家 Jean Bourgain 的关键思想启发下，Dyatlov 证明了一维分形的分形不确定性原理，并且这些分形看起来像是锯齿状的线。这些线可以代表在二维空间中移动的物体所采取的路径，如在台球桌上滚动的球。那个秋天，Dyatlov 和 Bourgain 在新泽西聚集了来自世界各地的数学家举行研讨会，希望将证明扩展到更高维度。扩展的证明可以用于研究三维世界，并且将成为一种普遍的数学工具。但这个任务被证明太难了。在研讨会结束时，与会者之一、索邦大学的数学家 Frédéric Naud 说：“没人在真心相信这可以做到。” 直到几年后，Alex Cohen 在麻省理工学院攻读博士学位期间终于取得了突破。在2025年发表在《数学年刊》上的一篇论文中，他将分形不确定性原理扩展到所有更高维度。这个结果成为了Cohen的论文，并使他在25岁时获得了纽约大学的助理教授职位。 分形不确定性原理是“一项基础性结果，”高级研究所的 Peter Sarnak 说——“对于一个写着论文的家伙来说，这是一项相当显著的成就。”这一原理已经揭示了量子粒子与经典粒子在某种深层次上的不同。 弹球巫师 虽然在粒子背景下，不确定性原理可能显得奇怪，但它也可以以不那么神秘的形式出现。声音越短，构成声音的音调就越不确定。短的雷达脉冲可以准确定位潜艇，但需要更长的信号才能确定它的运动方向。所有这些不确定性原理，包括量子的，不约而同地源自同一个数学源头。这个更深的数学不确定性原理广泛适用于任何函数——或者说，任何曲线，无论它看起来多么崎岖和狂野。它来源于19世纪发明的一个方程，称为傅里叶变换。傅里叶变换将任何函数分解为一组简单波，每个波具有不同的频率或音调。将这些简单波相加，就可以得到原始函数。 不确定性原理是内嵌的。一个简单的正弦波，其在空间中无限扩展，具有一个确定的频率，因此其傅里叶变换是一个单一的峰。然而，架子鼓的声响在空气中传播时看起来像一个脉冲。其傅里叶变换则呈现出广泛的频率——一种无法识别音调的声音。一般来说，函数越窄，其傅里叶变换必须越分散，反之亦然。换句话说，你对一个函数在空间中的峰值位置越确定，你对其频率，或时间变化的确定性就越低。在量子力学中，粒子在数学上被描述为波，其在最有可能被发现的地方形成波峰。该波的傅里叶变换描述了粒子的运动。这就是为何一个量子粒子的位置和动量不能同时被精确定义：它们通过傅里叶变换相关联。 但如果你对看起来像分形的函数进行傅里叶变换会怎么样？要理解这个问题，想象一种简单的分形：从一条线开始，将其切成三段。然后删除中间的那段。重复这一过程：将每个剩余的段切成三段，去掉中心，并继续。