怀特黑德和罗素的《数学原理》早在1910年就出版了——然而它的内容读起来却像是关于现代编程语言的文本。我发现《数学原理》非常引人入胜，很难放下。该书深入探讨了现代话题，如外延性/内涵性、引用透明性和类型。它可能是第一次在现代意义上提到“域”、“α重命名”和“类型”。它的“未完成符号”——那些仅在特定上下文中有意义的符号——预示了延续和控制操作符。它深刻观察到自由变量和束缚变量、替换、抽象和应用的概念都源自语言学。我不禁感觉到《数学原理》已经包含了λ演算。此外，罗素和怀特黑德显然预见到了直觉主义，例如，当他们坚持为“任何”和“所有”使用不同的符号时（虽然承认在他们的理论中这些概念是等价的）。整个《数学原理》非常庞大：据说该书以用一千页证明1+1=2而著称。正如前言强调的那样，证明详细得令人痛苦，以消除在证明中使用未声明前提的可能性。《数学原理》的目标是提出一组非常基本的概念，并表明仅凭这些概念就足以涵盖整个数学。如果今天出版《数学原理》，所有的证明都会被 relegated 到一个补充材料（或定理证明器）中。重要的是基本概念和框架——大部分内容在前言和第一章中就有所解释。以下是在阅读《数学原理》第一章时做的一些笔记，以及雅克·卡列特非常友好地提供的几条评论。版本目前的版本是1.3，发布日期为2026年8月。参考文献《数学原理》，阿尔弗雷德·诺斯·怀特黑德与伯特兰·罗素，剑桥：大学出版社，1910- <http://name.umdl.umich.edu/AAT3201.0001.001> 该书的完整扫描文本，多谢密歇根大学历史数学收藏。林斯基，伯纳德。《数学原理中的符号》斯坦福哲学百科全书（2026年夏季版），爱德华·N·扎尔塔和乌里·诺德尔曼（主编）<https://plato.stanford.edu/archives/sum2026/entries/pm-notation/> 《数学原理》第8页或许是数学文献中首次提到意向和外延，以及现在称为“引用透明性”的概念：“如果p≡q，那么我们将有f(p)≡f(q)”。这里f(p)是包含另一个命题p的命题。在现代术语中，我们称f为上下文并用C[]表示，并说如果p≡q，那么C[p]≡C[q]，这就是引用透明上下文的熟悉表述。接着这一页展示了一个非引用透明上下文的例子，“A相信p”：一个在用等价命题替换p时，其意义会变化的命题。这个例子揭示了这一概念的起源，来自语言学，特别是弗雷格的工作（在一个脚注中提到）。书中指出，“数学总是关注外延而非内涵。”（再一次借用了弗雷格的术语，但翻译成英语。）在第12页，书中指出定义仅仅是排版便利。另一方面，定义是最重要的，因为它们显示了意图。“……这些定义并不是我们研究的主题，而是严格来说，仅仅是排版便利。……尽管从理论上讲，定义是多余的，但它们往往传达出比它们所用命题中包含的信息更重要的信息。……定义的集合体现了我们对主题的选择和判断，以及什么是最重要的。其次……定义包含对一个共同思想的分析，因此可能表达出显著的进步。”命题函数：λ演算的预示，第15页介绍了“命题函数”，这就是现在所称的λ项。你自己从该页的运行示例中看看。“x受伤”（称为歧义的）实际上没有任何断言，直到我们确定x是谁。然而，由于保留了模糊变量x的个体性，它是一个模糊的例子，来自通过给“x受伤”中的x赋予所有可能的决定而得出的命题集合，产生一个真或假的命题。随后，作者们引入了该“命题函数”的符号：“x受伤”。虽然“x受伤”和“y受伤”出现在同一上下文中可以区分，但“x受伤”和“y受伤”完全不传达任何意义的区别。该段落最后总结道：“更一般地，φx是命题函数φx的模糊值，当用明确的意义a替换x时，φa是φx的明确值。”这里我们看到了自由变量、束缚变量、替换和α等价。