这个想法是改进近期的结果，并证明 4.5058 (?) ≤s(17) 使用这些权重：但我们首先得定义一下 s(17)。引用一下关于这个主题的旧文章：让 s(n) 表示我们可以打包 n 个单位正方形的最小正方形的边长。对于 n=16，以 4x4 的数组当然是最好的，因此 s(16)=4。对于 n=15，显然同样可以在 4x4 的正方形中围住这 15 个单位正方形，所以 s(15)≤4。证明更小的正方形并不明显。无论如何，埃里希·弗里德曼于 1999 年证明了这一点，因此 s(15)=4。对于 n=17，显然包围的正方形是 5x5，但在 1998 年，约翰·比德威尔发现了一个例子，显示一个边长为 4.6756… 的正方形就足够了，因此 s(17)≤4.6756… 这是一个非常有趣的正方形排列，所以值得去查看这个集合以及其他数字的版本。另一方面，特雷弗·格林于 2000 年证明了 4.4452…≤s(17)（更多细节稍后）。因此存在一个巨大的间隙 4.4452…≤s(17)≤4.6756… 几周前，萨姆·伯恩斯使用 ChapGPT 5.6 Sol 改进了下界。新的界限仍未经过社区的审查。我看了一下，它非常合理，我认为是正确的，但我可能在证明或附带的程序中遗漏了某个小角落案例，或者可能遗漏了一个巨大的漏洞。我会在数字旁边加个小 (?) 以防万一，但我相当乐观并且自信这是正确的，所以我只会使用半个字号。因此，目前的下界是 4.4452…≤4.4811 (?) ≤s(17)≤4.6756… 我对萨姆·伯恩斯的主要异议是这确实值得一个漂亮的图形！所以我的第一步是给这里添加一个好图形。另外，经过对程序的几次改进，我找到了一个新的下界，即 4.5058。因此我们现在有 4.4452…≤4.4811 (?) ≤4.5058 (?) ≤s(17)≤4.6756… 我新的例子和代码的修改在这里，但关于寻找新下界的更多技术细节属于第二篇文章。特雷弗·格林的下界。特雷弗·格林的旧证明的想法是 (19+40*sqrt(2))/17≅4.4452…≤s(17)，选择了在边长为 4.4452… 的正方形中选取 16 个非常有趣的“不可避免”的点，然后他利用大量几何证明任何单位正方形必须包括其中至少一个。因此，如果我们尝试在这里放入 17 个单位正方形，至少两个单位正方形必须共享 16 个有趣点中的一个。这个构造从 4x6 网格中选择 16 个点。我只找到了旧文章中点的图像，但找不到其解析定义。查看正方形的边长公式，使用某个规则和一些猜测，我认为空的左右边距为 0.5，空的上下边距为 sqrt(2)-1/2≅0.9142… 使用这些选择，原始图形中的对角线段长度为 1，这是一个非常有用的数字，可以构建具有不可避免点作为顶点的三角形。（我很乐意听到确认。）它使用了一个 6x4 网格，空边距为 0.9142… 和 0.5000，网格的总尺寸为 2.6168… 和 2.4452…。为了将这个构造与更新的构造进行比较，最好将其对称化。在这个对称版本中，每个单位正方形至少包括 4 个点，但有些点更粗，它们算作双倍点（稍后提供更多细节）。萨姆·伯恩斯的下界。萨姆·伯恩斯使用 ChatGPT 发布的证明 4.4811 (?) ≤s(17) 的想法是选择 268 个在边长为 4.4811 的正方形中相对有趣的点。这些点具有不同的权重，总权重只有 16.9476。经过一些简化，仅需测试有限数量的方向，他们使用 Python 编写的程序测试“所有”可能的“几乎单位”正方形（实际上为 .9973），并验证每个正方形内部的权重和至少为 1（实际上为 1.0003）。因此，如果我们尝试在这里放入 17 个单位正方形，至少两个单位正方形必须至少共享 268 个相对有趣的点中的一个。（更多细节见第二篇文章。）这种方法有误报。如果它验证了一个解，则它肯定是正确的，但如果程序失败，则有微小的可能性是错误的。这是确保权重证明下界的好方法。不清楚这些权重是如何选择的。将这个解决方案与旧文章中的所有例子进行比较，0.5 的边距太窄，因为大多数例子使用 ~1.0 或 ~9.1 或类似的东西。权重的选择与我一致，网格的第一行/最后一行/列的所有权重为零。在我简单的理解中，倒数第二行/列也应该为空，但网格中的（1，11）非零权重，希望在更好的例子中不必要。倒数第三行/列相当满。它更靠近边界，而不是在旧示例中，所以看起来在边界附近添加更多点可能是提升下界的好主意。我使用 Racket 和 Metapict 包绘制图像。每个圆的半径根据权重计算为 r = sqrt(weight^(1/gamma)) * scale 其中 gamma = 1.0 的面积与权重成正比，但小的边距可以影响结果。