数学最美妙的方面之一是，通过研究看似微不足道的问题，我们可以深入了解各种深刻的概念。考虑复根，"unity"只是表示数字1。基础知识：实数的复根 复根的研究通常从中学开始：1的平方根是什么？等价地，这个方程的解是什么？好吧，有两个答案：1和-1。类似地，我们可以问更高阶的根；三次根是方程的解：等等。当我们只处理实数时，这几乎是整个故事。对1的奇数次根，唯一的答案是1；对1的偶数次根，答案要么是1，要么是-1。当我们将范围扩展到复数时，事情变得更加有趣。 基础知识：复数的复根 根据正式的定义，复根是任何复数，它在被提高到一个正整数次方时产生1。与其考虑所有可能的1的根，讨论特定给定的根则更有意义：复数使得。例如，考虑。我们已经看到根是1和-1；这些是虚部为零的复数。那关于呢？有四个根：1，-1和。对于，三个根[1]是1和。很容易检查这些确实给1当提高到三次方时，但我们究竟该如何计算它们呢？ 使用极坐标计算复根 具有1的模的复数可以在极坐标[2]中表示为。如果我们将其提高到-th次方，我们会得到：的模仍然是1，这对于我们想成为一个-th根的 unity 是必要的。让我们将其置于1： 为了找到这个方程的解，我们首先要在极坐标中表示1。让我们用另一个变量表示角度：的值是多少？考虑单位圆，是任何整数的倍数-我们将其表示为： 回到：或者： 所以-th次根的unity是[3]： 一些基本例子 让我们从开始。我们有以下根：对于：正如预期的那样。计算的根应该同样简单；试一试。 复根与单位圆上的旋转 当我们将某个复根自身相乘时会发生什么？由于这个根的模是1，因此与它相乘就像沿着单位圆旋转根的角度。例如，考虑来自第三次根的unity： 自身相乘：如果的角度是，则的角度是。让我们再乘以一次：结果是1，正如预期的那样（毕竟，是第三次根）。这个可视化展示了复根在单位圆上的表现，以及提高它们的幂是如何旋转根直到最后：第n次根的unity，均匀间隔在单位圆上。 使用下面的根选择器。 根n根k所选根的幂。 使用下面的幂滑动条。 动量选择第一个；这将以蓝点的形式显示-th次根在单位圆上。现在你可以点击任何根，看到它在下方图表中的幂-拖动滑动条以查看旋转。如果你花时间玩这个，你会注意到某些根-例如当-在提高到比更小的次方时返回1。当我们讨论unity的群论方面时，我们将重新审视这个结果。 几何：unity的根与正多边形 如我们所见，复根均匀地分布在复平面的单位圆上。如果我们用直线连接根与其相邻的根，我们会注意到有趣的事情：相邻的nth次根的unity被连接形成一个单位圆上的正多边形。 根n 对于不同的值，我们得到了正多边形！如果我们将每个根连接到原点，这很容易证明。我们得到的三角形是全等的，因为从原点到根的边都长1，而中央角都是。因此，多边形的边及其角都是相同的，使它们变得规则。 复根的共轭 假设我们有一根unity：对于某些和。如果我们取的倒数：那么：所以也是一个n次的根。尽管的幂在单位圆上逆时针旋转直到以-th次幂落到1，的幂也同样顺时针旋转。也恰好是的复共轭：所以如果我们有：作为-n次根的unity，那么： 也是-n次的根。实际上，它们是相同的根，因为对于任何给定的正数：因此，列举共轭根与按相反顺序列举根是相同的。 群论：根的unity的循环群 让我们看一下一些的（根的unity）集合：这个集合-加上乘法运算-构成一个群。让我们证明这一点。 闭合：假设（因此和）。那么：因此。单位：数字，所以它可以作为我们群的单位元。结合性：