在1980年代，一个名为Graffiti的程序开始提出没人想到的问题，其中一个引起了保罗·厄尔德什的注意。将近四十年后，兰迪·达维拉将同样的问题交给了西奥猜想，这是一个由大型语言模型支持的自动发现系统，该系统以循环的方式提出、测试和修订数学思想。返回的结果是厄尔德什及其合作者猜测的答案的证明，一个没人预测的意外额外项，以及当AI代理与人类数学家共同解决问题时的简要概述。请在脑海中想象一下这个画面。从2到30的整数中取出每一个，并将其绘制为一个点。每当数字之间有大于1的公因子时，就在两个点之间画一条线。因此6与10连接，因为两者都可被2整除，而15与25连接，因为两者都可被5整除。共同因子图G_{30}。顶点是从2到30的整数，当它们有大于1的公因子时连接在一起。金色边连接一个素数顶点，蓝灰色边连接两个合成数顶点，而十个金色素数顶点彼此之间没有边，并形成一个最大独立集。最终形成的是一个图，在数学意义上，是由用线（边）连接的点（顶点）组成的图。将素数填充为金色。这些金色点之间没有接触，因为两个不同的素数永远不会有共同因子。令人惊讶的部分是什么？素数不仅仅是一堆不相连的点。它们形成了可能的最大点组，而这些点之间完全没有连接。数学家们为这类群体取了一个名称 - 一个独立集。值得一看为什么素数在这个竞赛中获胜。选择图中的任何独立集。它里面的每一个数字都必须与其中的每一个其他数字互质（这就是“不共享因子”的意思）。现在从每个数字中提取出一个素因子。由于这些数字之间没有共享因子，你刚提取出的素因子必须彼此不同。这意味着你在独立集中所能纳入的数字永远不会超过最初可抽取的素数数量。用公式表达为：α(Gₙ) = π(n)这里Gₙ是从整数2到n构建的图，α(Gₙ)是其最大独立集的大小，而π(n)是经典的素数计数函数，即在n之前的素数数量。这本身是一个简洁的恒等式；它将关于统计素数的问题转化为一个图的问题。但它也打开了一扇通向更奇特的事物之门，一个可以简单使用图形结构上的算术快速计算的数字，完全没有与素数的明显联系。一个不应该可行（但实际上有效）的快捷方式，寻找图中的最大独立集通常是一个困难的计算问题，因为它的扩展性不好。但有一个更简单的数字可以获取，称为顶点的度，即触及该顶点的边的数量。有一个将度转化为独立性下界的技巧，称为哈维尔-哈基米程序。列出每个顶点的度，从大到小。取出最大的数字，称其为d，划去它，从列表中的接下来的d个条目中分别减去1。重新排序。重复。当你最终只剩下零时，数一数它们的数量。这个计数称为图的残差，用R(G)表示。计算残差是快速的，而且它总是以可预测的方向低估真实值：R(G) ≤ α(G)。换句话说，残差是你可以在几秒钟内计算出的证书，保证最大独立集大小的下界，而你无需找到那个集合。应用到我们的素数图，该公式变为：R(Gₙ) ≤ π(n)。所以这才是真正的问题。这个残差计算只考虑度。它从不考虑哪个顶点连接到哪个顶点。这样剥夺结构细节的观点是否仍然能够捕捉到计数素数的正确数量级？或者，抛弃所有这些结构细节是否也会抛弃答案？这个问题有着出人意料的悠久历史，始于对让机器自行提出数学问题的第一次认真的尝试之一。Graffiti、厄尔德什以及留在墙上的问题。西莫尼·法依特洛维兹（Siemion Fajtlowicz）和保罗·厄尔德什（Paul Erdös，1992年，图片来源：杰瑞·格罗斯曼网页）。西莫尼·法依特洛维兹，休斯顿大学的数学家，在1980年代中期构建了一个名为Graffiti的程序。它存储了图的库以及每个图的数值属性，生成与这些属性相关的候选不等式，并使用一系列启发式方法过滤出任何真实但无趣的内容。法依特洛维兹不仅仅试图生成公式，他想了解什么使得一个数学陈述值得数学家的时间。Graffiti的猜想最终激发了数百篇论文，并引起了保罗·厄尔德什、范·钟、拉兹洛·洛瓦兹和保罗·西摩尔等数学家的关注。特别是，厄尔德什是个自然契合的人。他一生中大部分时间在不同的数学领域之间 bouncing。