你如何证明一个证明？有时候，你不用。Lucidio Studio, Inc./Getty Images 一位数学家打开办公室的门，发现里面有一小团火焰。她没有惊慌，四下查看，看到灭火器。“啊，有解决方案！”她说，随后关上门，继续她的一天。仅仅知道灭火是可能的就足以证明这个问题可以解决——为什么要费力去实际进行这个过程呢？这个老笑话概述了现代数学的许多做法，这要归功于一种狡猾的解决问题的策略：非构造性证明。这个概念很难理解，所以这里提供一个大致上非数学的例子。假设一个房间里有367个人——他们中至少有两个分享生日的几率是多少？答案是100%，因为（假设我们考虑闰年）只有366种可能的生日，每个人必须有一个生日，因此至少有两人有相同的生日。这是数学家们所称的“鸽巢原理”的一个例子——人就是鸽子，洞就是生日——而且这是接近非构造性证明的经典方法。我们知道两个人必须共享生日，即使我们不知道367个人中谁是他们。传统上，证明的性质恰恰相反。如果你证明了某件事情，通常你已经掌握了一个具体的数学对象，并将其展示给大家。19世纪时，这一切开始发生变化，非构造性证明成为数学家工具箱中更加强大和更受欢迎的工具。大卫·希尔伯特是这种新数学方式的先锋之一，他是当时伟大的数学家之一，在某些人的眼中，他也是一个麻烦制造者。希尔伯特所调查的问题很复杂，需要一点引导。让我们先考虑一个平方。你可以将一个平方旋转90度，它看起来依然一样——你可能熟悉这个被称为旋转对称性。另一种描述方式是，平方在90度旋转下是“保持不变”的。希尔伯特感兴趣的是不变性，不是像平方这样的几何对象，而是代数对象，比如方程。对于给定类别的代数对象，数学家们意识到本质上存在无限多的不变性。问题变成了：你实际上需要多少个？你能否从几个关键的不变性开始，并用它们构造出你想要的任何其他不变性？希尔伯特并不是第一个尝试确定不变性“生成集”的人——另一位数学家保罗·戈尔丹花了一生时间对其进行研究。戈尔丹为几个对象发现了有限生成集，但他的证明麻烦且复杂。但当1888年希尔伯特出现并证明这是对于更大类代数对象成立时，他感到震惊——而且并没有实际指定生成集的构成。他首先假设存在一个不可由生成集产生的不变性，然后证明这将导致在希尔伯特所处的代数规则下不被允许的无限序列的新不变性——一个逻辑上的矛盾。解决这一矛盾的唯一方式就是生成集必须始终存在。戈尔丹对这个非构造性证明的反应最初是负面的。“那不是数学，那是神学，”他震惊地说，认为希尔伯特竟会让他相信生成集的存在而不提供一个——这怎么能算作答案呢？不过，戈尔丹最终接受了希尔伯特的思路，后来表示“神学确实有其优势”。不过希尔伯特的斗争还没有结束。正如他年轻时挑战戈尔丹一样，后来又出现了年轻的挑战者L.E.J. 布劳威尔。希尔伯特花了几十年时间来建立形式主义的数学哲学，认为数学是一种通过逻辑方式操纵符号以产生证明的游戏，而不太关注那些符号可能对应的现实世界或数学对象。对形式主义者而言，非构造性证明仅仅是获胜的众多方法之一。布劳威尔讨厌这个观点。他的哲学是直觉主义，认为数学是人类思维的创造。他拒绝将符号的操纵视为数学的基本活动，只把它看作是将思想从一个数学家传递到另一个数学家的方式。在这种观点下，非构造性证明是作弊——一个数学对象如果真实存在，就必须能够在你的头脑中构建出来。这两种哲学真正冲突的地方是所谓的排中律。这是一个古老的逻辑原则，指出对于每一个逻辑命题，要么该命题为真，要么它的否定为真。