发布于2026年6月28日；最后修改于2026年6月30日。在美国和日期格式相似的国家，今天是 au日（ au = 2 imes ext{圆周率}）。我仍然认为 au r和rac{ au r^2}{2}的公式比2 ext{圆周率} r和 ext{圆周率} r^2更好，因为它们与mv和rac{mv^2}{2}的公式相匹配（还有许多其他原因）。但这艘船已经启程，所以 au只被降级为圆周率的两倍。好吧，加法是微不足道的，但你知道 ext{圆周率}^2 ext{大约等于} 10，并且 ext{圆周率}^2 ext{大约等于} g（其中g是地球海平面上的重力加速度）吗？我们是如何得出这些巧合的？今天，我们先来检查第一个事实。我们有 ext{圆周率}^2 ext{大约等于} 9.8696，这接近10（对于某些定义的10）。让我们从那个著名的公式开始，在那里 ext{圆周率}^2出现，巴塞尔问题：自然数的平方倒数的和的值是多少？我们知道答案来自于欧拉： \sum_{n=1}^{ ext{无穷大}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{\text{圆周率}^2}{6} 这就是\text{圆周率}^2 = 6\zeta(2)，其中\zeta是黎曼zeta函数。在我们的情况下，我们可以这样操作\zeta(2) = \sum_{n=1}^{\text{无穷大}}{\frac{1}{n^2}} = 1 + \sum_{n=2}^{\text{无穷大}}{\frac{4}{4n^2}}。但\frac{4}{4n^2} \le \frac{4}{4n^2 - 1}，而这里的分母是平方差。即\frac{4}{4n^2-1} = \frac{4}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{2}{2n - 1} - \frac{2}{2n + 1}。这使得最后的和发生望远镜效应，因此我们有\zeta(2) \le 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}。这就是为什么我们得到\text{圆周率}^2 \le 6\times\frac{5}{3} = 10。接下来，观察\text{圆周率}^2和10之间的差异，我们有：\delta = \frac{5}{3} - \zeta(2) = \sum_{n=2}^{\text{无穷大}}{\left(\frac{4}{4n^2 - 1} - \frac{1}{n^2}\right)} = \sum_{n=2}^{\text{无穷大}}{\frac{1}{n^2(4n^2 - 1)}}。和中的项的阶数是\mathcal{O}\left(n^{-4}\right)，这意味着它们迅速趋向于0。前几个值是\frac{1}{60}，\frac{1}{315}和\frac{1}{1008}。由于\text{圆周率}^2和10之间的误差是6\delta，因此我们将这些项相加并乘以6，得到0.125。所以我们可以近似地说\text{圆周率}^2几乎是10，最多相差一个八分之一单位。这有用吗？我最近必须迅速确定半径为\frac{1}{10}的圆的周长是否超过1。知道10大约等于\text{圆周率}^2告诉我，这大约等于\frac{2}{\text{圆周率}}，而无需实际进行任何数学运算。在未来，我们将看看另一个近似，这可能只是一个巧合？让我们看看。附言：我刚意识到上面的例子是微不足道的。我们知道\text{圆周率} \le 4，因此2 \times ext{圆周率} \le 10，也就是说周长已经小于1。可能更好的例子是我们必须非常快速地计算\log ext{圆周率}（这里的对数是以10为底）。由于\text{圆周率}^2大约等于10，因此相关的对数稍微小于0.5。